Divergensi Medan Gravitasi

Medan gravitasi, atau dikenal sebagai percepatan gravitasi, adalah vektor pengaruh gravitasi terhadap suatu benda bermassa. Medan gravitasi $\vec{g}$ yang bersumber dari massa $M$, pada titik $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ sebesar

$$\vec{g} = -\frac{GM}{|r|^2} \hat{r}$$
Misal $\rho$ adalah massa per satuan volume, dan volume yang dilingkupi adalah bola yang berpusat di titik pusat sumber gravitasi dengan jari-jari $|r|$, maka
\begin{align*}
M &= \rho V \\
&= \frac{4\pi |r|^3 \rho}{3}
\end{align*}
Memasukkan persamaan di atas ke dalam persamaan pertama
\begin{align*}
M &= \rho V \\
\vec{g} &= -\frac{G\left( \frac{4\pi |r|^3 \rho}{3} \right)}{|r|^2} \hat{r} \\
&= -\frac{4}{3} G\rho|r| \, \hat{r} \\
&= -\frac{4}{3} G\rho \, \vec{r} \\
&= -\frac{4}{3} G\rho (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \\
\end{align*}
Maka divergensinya adalah
\begin{align*}
\nabla \cdot \vec{g} &= -\frac{4}{3} G\rho (\frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z}) \\
&= -4\pi G\rho
\end{align*}