Skip to main content

Pendulum Fisik

Pendulum fisik adalah sistem pendulum yang terdiri atas benda tegar.  Dalam gambar di atas, batang bermassa $m$ berayun dengan sumbu putar sejauh $x$ dari titik pusat massa. Gaya berat $mg\,\sin\theta$ bekerja sebagai gaya penyebab ayunan.
Momen inersia $I$ dihitung melalui teorema sumbu sejajar.
\begin{align*}
I = \frac{1}{12}mL^2 + mx^2
\end{align*}
Torsi $\tau$ yang bekerja yaitu
$$\tau = -mgx\,\sin\theta$$
Dalam sistem tersebut berlaku
\begin{align*}
\sum \tau &= I\alpha \\
-mgx\,\sin\theta &= \left( \frac{1}{12}mL^2 + mx^2 \right)\alpha \\
\left( \frac{1}{12}mL^2 + mx^2 \right)\alpha + mgx\,\sin\theta &= 0 \\
\left( \frac{1}{12}L^2 + x^2 \right)\theta '' + gx\,\theta &= 0
\end{align*}
Persamaan tersebut adalah persamaan diferensial orde dua. Solusi dari persamaan tersebut adalah
$$\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t)$$
dengan $\omega = 2\pi/T$, dan periode $T$ adalah fungsi dari $x$ dan $L$.
$$T(x,L) = 2\pi \sqrt{ \frac{ \frac{1}{12}L^2 + x^2 }{gx} }$$



Dari grafik tersebut, dapat dilihat bahwa terdapat daerah di mana dua nilai $x$ yang berbeda dapat memiliki nilai periode yang sama. (Kurva di sebelah kanan garis tegak paling kanan tidak berarti, karena di daerah itu $x > L/2$, saat titik tumpu di luar batang)

Periode saat batang diayunkan di ujungnya $(x = L/2)$ sebesar
$$T_{ujung} = 2\pi\sqrt{ \frac{2L}{3g} }$$
Periode yang sama juga didapat saat $x = L/6$. Sedangkan periode minimum sebesar
$$T_{min} = 2\pi \sqrt{ \frac{L}{g\sqrt{3}} }$$
dicapai saat $x = L/\sqrt{12}$.

Saat $x$ menuju nol, periode menuju takhingga. Ini berarti jika sumbu ayunan berada pada titik pusat massa, batang tidak akan berayun, melainkan bergerak melingkar beraturan.
Labels:

Popular posts from this blog

Venturimeter Dengan Manometer

Berdasarkan persamaan kontinuitas: \begin{align*} A_1v_1 &= A_2v_2 \\ v_2 &= \frac{A_1}{A_2} \, v_1 \end{align*} Menggunakan persamaan Bernoulli: $$P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 + \rho_u gh_1  = P_2 + \frac{1}{2}\rho_u v_2^2 + \rho_u gh_2$$ Ketinggian titik 1 dan 2 sama $h_1 = h_2) $ $$ P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho_u v_2^2 $$ Substitusi $ v_2 $ \begin{align*} P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 &= P_2 + \frac{1}{2}\rho_u \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 v_1^2 \\ P_1 - P_2 &= \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \end{align*} Perbedaan tekanan antara titik 1 dan 2 $ (P_1 - P_2) $ adalah sebesar perbedaan tekanan hidrostatik udara dengan tekanan hidrostatik fluida $ (\rho_f g \Delta h - \rho_u g \Delta h) $ \begin{align*} \rho_f g \Delta h - \rho_u g \Delta h &= \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \\ (\rho_f  - \rho_u) g \Delta h...
Read more

Venturimeter Tanpa Manometer

Berdasarkan persamaan kontinuitas: \begin{align*} A_1v_1 &= A_2v_2 \\ v_2 &= \frac{A_1}{A_2} \, v_1 \end{align*} Menggunakan persamaan Bernoulli: $$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1  = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2 $$ Ketinggian titik 1 dan 2 sama $(h_1 = h_2) $ $$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 $$ Substitusi $v_2 $ \begin{align*} P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 &= P_2 + \frac{1}{2}\rho \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 v_1^2 \\ P_1 - P_2 &= \frac{1}{2}\rho v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \end{align*} Perbedaan tekanan antara titik 1 dan 2 $ (P_1 - P_2) $ adalah sebesar perbedaan tekanan hidrostatik fluida $ (\rho g \Delta h) $ \begin{align*} \rho g \Delta h &= \frac{1}{2}\rho v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \\ v_1 &= \sqrt{\frac{2g\Delta h}{\left( \frac{A_1}{A_2} \right)^2 -1}} \end{align*}
Read more

Sinar X

Sinar X adalah suatu gelombang elektromagnetik yang panjang gelombangnya berkisar antara 0.01 hingga 10 nm. Panjang gelombang yang sangat kecil berarti bahwa sinar X membawa energi yang besar, cukup besar untuk mengionisasi suatu atom, sehingga dikelompokkan sebagai ionizing radiation. Sinar X pertama kali ditemukan oleh fisikawan Wilhelm Roentgen pada tahun 1895, yang dipancarkan dari suatu alat bernama Crooke's Tube , sejenis tabung sinar katoda. Di tahun yang sama, Roentgen mempublikasikan penemuannya, dan juga foto pertama menggunakan sinar X. Foto dari tangan istri Roentgen, terlihat jari manis sedang menggunakan cincin. Sinar X dihasilkan saat partikel bermuatan (elektron atau ion) berenergi cukup tinggi menumbuk suatu permukaan bahan. Bahan yang dipakan untuk memproduksi sinar X umumnya logam. Terdapat dua proses yang terjadi dalam produksi sinar X. Sinar X karakteristik: dinamakan "karakteristik" karena panjang gelombang yang dihasilkan diskrit, tergantung b...
Read more