Skip to main content

Pendulum Fisik

Pendulum fisik adalah sistem pendulum yang terdiri atas benda tegar.  Dalam gambar di atas, batang bermassa $m$ berayun dengan sumbu putar sejauh $x$ dari titik pusat massa. Gaya berat $mg\,\sin\theta$ bekerja sebagai gaya penyebab ayunan.
Momen inersia $I$ dihitung melalui teorema sumbu sejajar.
\begin{align*}
I = \frac{1}{12}mL^2 + mx^2
\end{align*}
Torsi $\tau$ yang bekerja yaitu
$$\tau = -mgx\,\sin\theta$$
Dalam sistem tersebut berlaku
\begin{align*}
\sum \tau &= I\alpha \\
-mgx\,\sin\theta &= \left( \frac{1}{12}mL^2 + mx^2 \right)\alpha \\
\left( \frac{1}{12}mL^2 + mx^2 \right)\alpha + mgx\,\sin\theta &= 0 \\
\left( \frac{1}{12}L^2 + x^2 \right)\theta '' + gx\,\theta &= 0
\end{align*}
Persamaan tersebut adalah persamaan diferensial orde dua. Solusi dari persamaan tersebut adalah
$$\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t)$$
dengan $\omega = 2\pi/T$, dan periode $T$ adalah fungsi dari $x$ dan $L$.
$$T(x,L) = 2\pi \sqrt{ \frac{ \frac{1}{12}L^2 + x^2 }{gx} }$$



Dari grafik tersebut, dapat dilihat bahwa terdapat daerah di mana dua nilai $x$ yang berbeda dapat memiliki nilai periode yang sama. (Kurva di sebelah kanan garis tegak paling kanan tidak berarti, karena di daerah itu $x > L/2$, saat titik tumpu di luar batang)

Periode saat batang diayunkan di ujungnya $(x = L/2)$ sebesar
$$T_{ujung} = 2\pi\sqrt{ \frac{2L}{3g} }$$
Periode yang sama juga didapat saat $x = L/6$. Sedangkan periode minimum sebesar
$$T_{min} = 2\pi \sqrt{ \frac{L}{g\sqrt{3}} }$$
dicapai saat $x = L/\sqrt{12}$.

Saat $x$ menuju nol, periode menuju takhingga. Ini berarti jika sumbu ayunan berada pada titik pusat massa, batang tidak akan berayun, melainkan bergerak melingkar beraturan.
Labels:

Popular posts from this blog

Venturimeter Dengan Manometer

Berdasarkan persamaan kontinuitas: \begin{align*} A_1v_1 &= A_2v_2 \\ v_2 &= \frac{A_1}{A_2} \, v_1 \end{align*} Menggunakan persamaan Bernoulli: $$P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 + \rho_u gh_1  = P_2 + \frac{1}{2}\rho_u v_2^2 + \rho_u gh_2$$ Ketinggian titik 1 dan 2 sama $h_1 = h_2) $ $$ P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho_u v_2^2 $$ Substitusi $ v_2 $ \begin{align*} P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 &= P_2 + \frac{1}{2}\rho_u \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 v_1^2 \\ P_1 - P_2 &= \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \end{align*} Perbedaan tekanan antara titik 1 dan 2 $ (P_1 - P_2) $ adalah sebesar perbedaan tekanan hidrostatik udara dengan tekanan hidrostatik fluida $ (\rho_f g \Delta h - \rho_u g \Delta h) $ \begin{align*} \rho_f g \Delta h - \rho_u g \Delta h &= \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \\ (\rho_f  - \rho_u) g \Delta h...
Read more

Venturimeter Tanpa Manometer

Berdasarkan persamaan kontinuitas: \begin{align*} A_1v_1 &= A_2v_2 \\ v_2 &= \frac{A_1}{A_2} \, v_1 \end{align*} Menggunakan persamaan Bernoulli: $$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1  = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2 $$ Ketinggian titik 1 dan 2 sama $(h_1 = h_2) $ $$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 $$ Substitusi $v_2 $ \begin{align*} P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 &= P_2 + \frac{1}{2}\rho \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 v_1^2 \\ P_1 - P_2 &= \frac{1}{2}\rho v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \end{align*} Perbedaan tekanan antara titik 1 dan 2 $ (P_1 - P_2) $ adalah sebesar perbedaan tekanan hidrostatik fluida $ (\rho g \Delta h) $ \begin{align*} \rho g \Delta h &= \frac{1}{2}\rho v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \\ v_1 &= \sqrt{\frac{2g\Delta h}{\left( \frac{A_1}{A_2} \right)^2 -1}} \end{align*}
Read more

Induktor

Induktor adalah suatu alat yang mengubah energi listrik dalam bentuk medan magnet. Pada umumnya, induktor terdiri atas kumparan kawat konduktor dan diisi dengan bahan magnetik, seperti besi. Saat induktor dialiri arus listrik, arus yang melalui kumparan akan membentuk medan magnet. Medan magnet yang terbentuk ini berubah tiap waktu. Medan magnet tersebut akan membentuk GGL induksi yang melawan arah arus utama. GGL yang dihasilkan induktor sebesar $$V = -L\, \frac{di}{dt}$$ dengan $L$ induktansi induktor. Induktansi induktor adalah ukuran kekuatan induktor, yang didapat dari perbandingan antara fluks magnet yang dihasilkan dan arus yang melalui induktor. $$L = N \, \frac{\Phi_B}{i}$$ Fluks magnet yang terbentuk dalam induktor berbentuk kumparan lurus panjang yaitu \begin{align*} \Phi_B & = BA \\ &= \left( \mu_0 \mu_r\,\frac{iN}{\ell} \right) \left( \pi r^2 \right) \\ &= \mu_0 \mu_r\pi\,\frac{ir^2N}{\ell} \end{align*} sehingga didapat $$L = \mu_0 \mu_r\pi\,\frac{r^2...
Read more