Skip to main content

Partikel Bebas

Apa itu partikel bebas?

Keberadaan suatu partikel dapat dimaknai sebagai gelombang probabilitas keberadaan partikel tersebut, yang secara matematis dinyatakan sebagai fungsi gelombang $\Psi$.

Partikel dapat bertindak sebagai gelombang. Sebagai contoh, apabila berkas elektron diarahkan ke celah ganda Young, maka layar pendeteksi elektron akan menemukan pola yang menyerupai pola interferensi gelombang cahaya. Elektron mengalami interferensi, suatu fenomena yang menunjukkan sifat gelombang. Suatu fenomena yang hanya bisa dijelaskan oleh gelombang. Gelombang ini disebut gelombang materi.
Pola interferensi elektron

Louis de Broglie adalah fisikawan pencetus konsep gelombang materi. Panjang gelombang dari suatu partikel yaitu
$$\lambda = \frac{h}{p}$$
dengan tetapan Planck $h = 6.63 \times 10^{-34}\, J \cdot s$, dan momentum $p = mv$.

Kemudian, Erwin Schrödinger merumuskan fungsi gelombang , yang terdiri atas dua bagian, yaitu persamaan posisi dan persamaan waktu.
$$\Psi(x,t) = \psi(x) f(t)$$ (gerak satu dimensi)
Dalam tulisan ini, kita akan fokus ke fungsi $\psi$ dan densitas probabilitas $|\psi|^2$. Densitas probabilitas adalah besaran yang menyatakan probabilitas menemukan partikel dalam suatu titik tertentu per satuan waktu.

Persamaan Schrödinger dalam satu dimensi yaitu
$$\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{8\pi^2m}{h^2} [E - U(x)]\psi = 0$$
dengan $E$ adalah energi total partikel (non-relativistik) dan $U(x)$ adalah energi potensial.

Partikel bebas adalah partikel yang tidak dipengaruhi gaya, berarti juga tidak dipengaruhi energi potensial $(U(x) = 0)$. Partikel ini hanya memiliki energi kinetik sebesar $mv^2/2$.
\begin{align*}
\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{8\pi^2m}{h^2} \left( \frac{mv^2}{2} \right)\psi &= 0 \\
\frac{d^2\psi}{dx^2} + \left( 2\pi\,\frac{mv}{h} \right)^2\psi &= 0 \\
\frac{d^2\psi}{dx^2} + \left( \frac{2\pi}{\lambda} \right)^2\psi &= 0 \\
\frac{d^2\psi}{dx^2} + k^2\psi &= 0
\end{align*}
Solusi dari persamaan diferensial di atas adalah
$$\psi(x) = \psi_0\,e^{ikx}$$ (gerak satu dimensi, arah x positif)
dengan $k = 2\pi/\lambda$ bilangan gelombang materi. Densitas probabilitasnya
\begin{align*}
|\psi|^2 &= |\psi_0\,e^{ikx}|^2 \\
&= \psi_0^2\,|e^{ikx}|^2 \\
&= \psi_0^2\,(e^{ikx}\,e^{-ikx})^2 \\
&= \psi_0^2\,(1)^2 \\
&= \psi_0^2
\end{align*}
yaitu suatu konstanta.
Densitas probabilitas sepanjang sumbu x.
Apa makna dari grafik tersebut?
Kita dapat memaknai bahwa probabilitas menemukan partikel tersebut adalah sama untuk setiap titik yang dilaluinya.

Menurut prinsip ketidakpastian Heisenberg, seorang pengukur tidak dapat mengukur kecepatan dan posisi suatu partikel secara definit, yaitu tanpa keraguan. Selalu ada ketidakpastian pengukuran.
$$\Delta x \, \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$$
Dari fungsi gelombang yang kita dapatkan, kita mengasumsikan bahwa momentum $p$ partikel tersebut definit, dan kita juga menemukan bahwa partikel tersebut dapat ditemukan di titik manapun; tidak ada letak definit dari partikel tersebut. Hal ini sesuai dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg, apabila $\Delta p \rightarrow 0$, maka $\Delta x \rightarrow \infty$.

Jadi, apa makna kebebasan?
Labels:

Popular posts from this blog

Venturimeter Dengan Manometer

Berdasarkan persamaan kontinuitas: \begin{align*} A_1v_1 &= A_2v_2 \\ v_2 &= \frac{A_1}{A_2} \, v_1 \end{align*} Menggunakan persamaan Bernoulli: $$P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 + \rho_u gh_1  = P_2 + \frac{1}{2}\rho_u v_2^2 + \rho_u gh_2$$ Ketinggian titik 1 dan 2 sama $h_1 = h_2) $ $$ P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho_u v_2^2 $$ Substitusi $ v_2 $ \begin{align*} P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 &= P_2 + \frac{1}{2}\rho_u \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 v_1^2 \\ P_1 - P_2 &= \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \end{align*} Perbedaan tekanan antara titik 1 dan 2 $ (P_1 - P_2) $ adalah sebesar perbedaan tekanan hidrostatik udara dengan tekanan hidrostatik fluida $ (\rho_f g \Delta h - \rho_u g \Delta h) $ \begin{align*} \rho_f g \Delta h - \rho_u g \Delta h &= \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \\ (\rho_f  - \rho_u) g \Delta h...
Read more

Venturimeter Tanpa Manometer

Berdasarkan persamaan kontinuitas: \begin{align*} A_1v_1 &= A_2v_2 \\ v_2 &= \frac{A_1}{A_2} \, v_1 \end{align*} Menggunakan persamaan Bernoulli: $$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1  = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2 $$ Ketinggian titik 1 dan 2 sama $(h_1 = h_2) $ $$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 $$ Substitusi $v_2 $ \begin{align*} P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 &= P_2 + \frac{1}{2}\rho \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 v_1^2 \\ P_1 - P_2 &= \frac{1}{2}\rho v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \end{align*} Perbedaan tekanan antara titik 1 dan 2 $ (P_1 - P_2) $ adalah sebesar perbedaan tekanan hidrostatik fluida $ (\rho g \Delta h) $ \begin{align*} \rho g \Delta h &= \frac{1}{2}\rho v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \\ v_1 &= \sqrt{\frac{2g\Delta h}{\left( \frac{A_1}{A_2} \right)^2 -1}} \end{align*}
Read more

Rangkaian RL

Rangkaian RL adalah rangkaian yang terdiri atas resistor dan induktor Rangkaian RL Rangkaian tersebut mengubah arus menjadi medan magnet yang disimpan dalam induktor. Untuk menghitung arus pada suatu waktu dalam rangkaian tersebut, kita gunakan hukum Maxwell. Tanda kutub pada masing-masing komponen dan arah pengintegrasian \begin{align*} \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} &= -\frac{d\Phi_B}{dt}\\ iR - V_0 &= -L\,\frac{di}{dt} \\ L \, \frac{di}{dt} + Ri &= V_0 \end{align*} Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah persamaan arus $$i(t) = \frac{V_0}{R} (1-e^{-\frac{Rt}{L}})$$ dari persamaan di atas dapat dilihat bahwa setelah waktu yang cukup lama $(t \rightarrow \infty)$ arus pada rangkaian $i=V_0/R$. Induktor yang terbuat dari konduktor ideal tidak memiliki medan listrik, sehingga tidak memiliki tegangan.
Read more