Skip to main content

Partikel Bebas

Apa itu partikel bebas?

Keberadaan suatu partikel dapat dimaknai sebagai gelombang probabilitas keberadaan partikel tersebut, yang secara matematis dinyatakan sebagai fungsi gelombang $\Psi$.

Partikel dapat bertindak sebagai gelombang. Sebagai contoh, apabila berkas elektron diarahkan ke celah ganda Young, maka layar pendeteksi elektron akan menemukan pola yang menyerupai pola interferensi gelombang cahaya. Elektron mengalami interferensi, suatu fenomena yang menunjukkan sifat gelombang. Suatu fenomena yang hanya bisa dijelaskan oleh gelombang. Gelombang ini disebut gelombang materi.
Pola interferensi elektron

Louis de Broglie adalah fisikawan pencetus konsep gelombang materi. Panjang gelombang dari suatu partikel yaitu
$$\lambda = \frac{h}{p}$$
dengan tetapan Planck $h = 6.63 \times 10^{-34}\, J \cdot s$, dan momentum $p = mv$.

Kemudian, Erwin Schrödinger merumuskan fungsi gelombang , yang terdiri atas dua bagian, yaitu persamaan posisi dan persamaan waktu.
$$\Psi(x,t) = \psi(x) f(t)$$ (gerak satu dimensi)
Dalam tulisan ini, kita akan fokus ke fungsi $\psi$ dan densitas probabilitas $|\psi|^2$. Densitas probabilitas adalah besaran yang menyatakan probabilitas menemukan partikel dalam suatu titik tertentu per satuan waktu.

Persamaan Schrödinger dalam satu dimensi yaitu
$$\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{8\pi^2m}{h^2} [E - U(x)]\psi = 0$$
dengan $E$ adalah energi total partikel (non-relativistik) dan $U(x)$ adalah energi potensial.

Partikel bebas adalah partikel yang tidak dipengaruhi gaya, berarti juga tidak dipengaruhi energi potensial $(U(x) = 0)$. Partikel ini hanya memiliki energi kinetik sebesar $mv^2/2$.
\begin{align*}
\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{8\pi^2m}{h^2} \left( \frac{mv^2}{2} \right)\psi &= 0 \\
\frac{d^2\psi}{dx^2} + \left( 2\pi\,\frac{mv}{h} \right)^2\psi &= 0 \\
\frac{d^2\psi}{dx^2} + \left( \frac{2\pi}{\lambda} \right)^2\psi &= 0 \\
\frac{d^2\psi}{dx^2} + k^2\psi &= 0
\end{align*}
Solusi dari persamaan diferensial di atas adalah
$$\psi(x) = \psi_0\,e^{ikx}$$ (gerak satu dimensi, arah x positif)
dengan $k = 2\pi/\lambda$ bilangan gelombang materi. Densitas probabilitasnya
\begin{align*}
|\psi|^2 &= |\psi_0\,e^{ikx}|^2 \\
&= \psi_0^2\,|e^{ikx}|^2 \\
&= \psi_0^2\,(e^{ikx}\,e^{-ikx})^2 \\
&= \psi_0^2\,(1)^2 \\
&= \psi_0^2
\end{align*}
yaitu suatu konstanta.
Densitas probabilitas sepanjang sumbu x.
Apa makna dari grafik tersebut?
Kita dapat memaknai bahwa probabilitas menemukan partikel tersebut adalah sama untuk setiap titik yang dilaluinya.

Menurut prinsip ketidakpastian Heisenberg, seorang pengukur tidak dapat mengukur kecepatan dan posisi suatu partikel secara definit, yaitu tanpa keraguan. Selalu ada ketidakpastian pengukuran.
$$\Delta x \, \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$$
Dari fungsi gelombang yang kita dapatkan, kita mengasumsikan bahwa momentum $p$ partikel tersebut definit, dan kita juga menemukan bahwa partikel tersebut dapat ditemukan di titik manapun; tidak ada letak definit dari partikel tersebut. Hal ini sesuai dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg, apabila $\Delta p \rightarrow 0$, maka $\Delta x \rightarrow \infty$.

Jadi, apa makna kebebasan?
Labels:

Popular posts from this blog

Venturimeter Dengan Manometer

Berdasarkan persamaan kontinuitas: \begin{align*} A_1v_1 &= A_2v_2 \\ v_2 &= \frac{A_1}{A_2} \, v_1 \end{align*} Menggunakan persamaan Bernoulli: $$P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 + \rho_u gh_1  = P_2 + \frac{1}{2}\rho_u v_2^2 + \rho_u gh_2$$ Ketinggian titik 1 dan 2 sama $h_1 = h_2) $ $$ P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho_u v_2^2 $$ Substitusi $ v_2 $ \begin{align*} P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 &= P_2 + \frac{1}{2}\rho_u \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 v_1^2 \\ P_1 - P_2 &= \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \end{align*} Perbedaan tekanan antara titik 1 dan 2 $ (P_1 - P_2) $ adalah sebesar perbedaan tekanan hidrostatik udara dengan tekanan hidrostatik fluida $ (\rho_f g \Delta h - \rho_u g \Delta h) $ \begin{align*} \rho_f g \Delta h - \rho_u g \Delta h &= \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \\ (\rho_f  - \rho_u) g \Delta h...
Read more

Venturimeter Tanpa Manometer

Berdasarkan persamaan kontinuitas: \begin{align*} A_1v_1 &= A_2v_2 \\ v_2 &= \frac{A_1}{A_2} \, v_1 \end{align*} Menggunakan persamaan Bernoulli: $$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1  = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2 $$ Ketinggian titik 1 dan 2 sama $(h_1 = h_2) $ $$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 $$ Substitusi $v_2 $ \begin{align*} P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 &= P_2 + \frac{1}{2}\rho \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 v_1^2 \\ P_1 - P_2 &= \frac{1}{2}\rho v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \end{align*} Perbedaan tekanan antara titik 1 dan 2 $ (P_1 - P_2) $ adalah sebesar perbedaan tekanan hidrostatik fluida $ (\rho g \Delta h) $ \begin{align*} \rho g \Delta h &= \frac{1}{2}\rho v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \\ v_1 &= \sqrt{\frac{2g\Delta h}{\left( \frac{A_1}{A_2} \right)^2 -1}} \end{align*}
Read more

Induktor

Induktor adalah suatu alat yang mengubah energi listrik dalam bentuk medan magnet. Pada umumnya, induktor terdiri atas kumparan kawat konduktor dan diisi dengan bahan magnetik, seperti besi. Saat induktor dialiri arus listrik, arus yang melalui kumparan akan membentuk medan magnet. Medan magnet yang terbentuk ini berubah tiap waktu. Medan magnet tersebut akan membentuk GGL induksi yang melawan arah arus utama. GGL yang dihasilkan induktor sebesar $$V = -L\, \frac{di}{dt}$$ dengan $L$ induktansi induktor. Induktansi induktor adalah ukuran kekuatan induktor, yang didapat dari perbandingan antara fluks magnet yang dihasilkan dan arus yang melalui induktor. $$L = N \, \frac{\Phi_B}{i}$$ Fluks magnet yang terbentuk dalam induktor berbentuk kumparan lurus panjang yaitu \begin{align*} \Phi_B & = BA \\ &= \left( \mu_0 \mu_r\,\frac{iN}{\ell} \right) \left( \pi r^2 \right) \\ &= \mu_0 \mu_r\pi\,\frac{ir^2N}{\ell} \end{align*} sehingga didapat $$L = \mu_0 \mu_r\pi\,\frac{r^2...
Read more