Skip to main content

Mencari Cepat Rambat Cahaya - Bagian 1

Gelombang elektromagnetik merambat pada sumbu x dengan persamaan medan listrik
$$E(x,t) = E_m \, \sin(kx-\omega t)$$
dan persamaan medan magnet
$$B(x,t) = B_m \, \sin(kx-\omega t)$$
Misalkan terdapat bidang berbentuk persegi panjang $A$ sejajar sumbu y, dengan tinggi $h$ dan lebar $dx$ pada sumbu x. Di sebelah kiri bidang $A$ terdapat medan listrik sebesar $E$, dan di sebelah kanan bidang $A$ terdapat medan listrik sebesar $E + dE$. Perubahan medan listrik tersebut menginduksi medan magnet $B$ yang mengarah ke sumbu z, tegak lurus bidang persegi panjang $A$.

Persamaan Maxwell untuk induksi medan magnet yaitu
$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = -\frac{\partial \Phi_B}{\partial t}$$
Mengaplikasikan persamaan tersebut untuk bidang $A$, diintegrasikan berlawanan jarum jam
\begin{align*}
\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} &= h(E+dE) - Eh \\
&= h \, dE
\end{align*}
Fluks medan magnet terinduksi $\Phi_B$ yaitu
\begin{align*}
\Phi_B &= Bh \,dx \\
\frac{d\Phi_B}{dt} &= h \, dx \, \frac{dB}{dt}
\end{align*}
Substitusi ke persamaan Maxwell
\begin{align*}
h \, dE &= -h \, dx \, \frac{dB}{dt} \\
\frac{dE}{dx} &= -\frac{dB}{dt} \\
\frac{\partial E}{\partial x} &= -\frac{\partial B}{\partial t}
\end{align*}
Melihat persamaan medan listrik dan persamaan medan magnet
\begin{align*}
\frac{\partial E}{\partial x} &= kE_m\,\cos(kx-\omega t) \\
\frac{\partial B}{\partial t} &= -\omega B_m\,\cos(kx-\omega t)
\end{align*}
Sehingga didapat
\begin{align*}
kE_m\,\cos(kx-\omega t) &= \omega B_m\,\cos(kx-\omega t) \\
\frac{E_m}{B_m} &= \frac{\omega}{k}
\end{align*}
$\omega / k$ adalah cepat rambat gelombang elektromagnetik, yaitu sebesar $c$. Maka
$$\frac{E_m}{B_m} = c$$

Bagian selanjutnya dapat dibuka di sini.
Labels:

Popular posts from this blog

Venturimeter Dengan Manometer

Berdasarkan persamaan kontinuitas: \begin{align*} A_1v_1 &= A_2v_2 \\ v_2 &= \frac{A_1}{A_2} \, v_1 \end{align*} Menggunakan persamaan Bernoulli: $$P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 + \rho_u gh_1  = P_2 + \frac{1}{2}\rho_u v_2^2 + \rho_u gh_2$$ Ketinggian titik 1 dan 2 sama $h_1 = h_2) $ $$ P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho_u v_2^2 $$ Substitusi $ v_2 $ \begin{align*} P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 &= P_2 + \frac{1}{2}\rho_u \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 v_1^2 \\ P_1 - P_2 &= \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \end{align*} Perbedaan tekanan antara titik 1 dan 2 $ (P_1 - P_2) $ adalah sebesar perbedaan tekanan hidrostatik udara dengan tekanan hidrostatik fluida $ (\rho_f g \Delta h - \rho_u g \Delta h) $ \begin{align*} \rho_f g \Delta h - \rho_u g \Delta h &= \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \\ (\rho_f  - \rho_u) g \Delta h...
Read more

Venturimeter Tanpa Manometer

Berdasarkan persamaan kontinuitas: \begin{align*} A_1v_1 &= A_2v_2 \\ v_2 &= \frac{A_1}{A_2} \, v_1 \end{align*} Menggunakan persamaan Bernoulli: $$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1  = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2 $$ Ketinggian titik 1 dan 2 sama $(h_1 = h_2) $ $$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 $$ Substitusi $v_2 $ \begin{align*} P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 &= P_2 + \frac{1}{2}\rho \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 v_1^2 \\ P_1 - P_2 &= \frac{1}{2}\rho v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \end{align*} Perbedaan tekanan antara titik 1 dan 2 $ (P_1 - P_2) $ adalah sebesar perbedaan tekanan hidrostatik fluida $ (\rho g \Delta h) $ \begin{align*} \rho g \Delta h &= \frac{1}{2}\rho v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \\ v_1 &= \sqrt{\frac{2g\Delta h}{\left( \frac{A_1}{A_2} \right)^2 -1}} \end{align*}
Read more

Rangkaian RL

Rangkaian RL adalah rangkaian yang terdiri atas resistor dan induktor Rangkaian RL Rangkaian tersebut mengubah arus menjadi medan magnet yang disimpan dalam induktor. Untuk menghitung arus pada suatu waktu dalam rangkaian tersebut, kita gunakan hukum Maxwell. Tanda kutub pada masing-masing komponen dan arah pengintegrasian \begin{align*} \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} &= -\frac{d\Phi_B}{dt}\\ iR - V_0 &= -L\,\frac{di}{dt} \\ L \, \frac{di}{dt} + Ri &= V_0 \end{align*} Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah persamaan arus $$i(t) = \frac{V_0}{R} (1-e^{-\frac{Rt}{L}})$$ dari persamaan di atas dapat dilihat bahwa setelah waktu yang cukup lama $(t \rightarrow \infty)$ arus pada rangkaian $i=V_0/R$. Induktor yang terbuat dari konduktor ideal tidak memiliki medan listrik, sehingga tidak memiliki tegangan.
Read more