Skip to main content

Medan Magnet Di Sekitar Kawat Panjang Berarus

Menurut hukum Biot-Savart:

$$ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \, \frac{ i \, d\vec{s} \times \hat{r}}{r^2}$$

atau tanpa notasi vektor

$$ dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \, \frac{ i \, ds \, \sin \theta }{r^2}$$



Untuk mendapatkan medan magnet $B$ di titik $P$, kita akan mengintegrasikan persamaan tersebut dari bagian kawat yang jauh di bawah $(\theta = 0)$ hingga bagian kawat yang jauh di atas $(\theta = \pi)$.



Persamaan dalam Hukum Biot-Savart adalah fungsi dari ruas kawat elementer $ds$, kita akan mengubah persamaan tersebut menjadi fungsi dari sudut. Kita harus mengganti $ds$ dan $r$ menjadi suatu bentuk dari $\theta$.


Dari gambar di atas, kita dapat melihat bahwa
\begin{align*}
s &= R \,\cot (\pi - \theta) \\
&= -R \,\cot \theta \\
ds &= R \,\csc^2 \theta \, d\theta
\end{align*}
dan
\begin{align*}
r &= R \,\csc (\pi - \theta) \\
&= R\,\csc \theta
\end{align*}



Substitusi $ds$ dan $r$ menghasilkan
\begin{align*}
dB &= \frac{\mu_0}{4\pi} \, \frac{ i \, (R \,\csc^2 \theta\, d\theta) \, \sin \theta }{R^2\,\csc^2 \theta} \\
&= \frac{\mu_0i}{4\pi R} \, \sin\theta \, d\theta
\end{align*}

$dB$ kita integrasikan dari $\theta = 0$ hingga $\theta = \pi$
\begin{align*}
B &= \frac{\mu_0i}{4\pi R} \, \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, d\theta \\
&= \frac{\mu_0i}{4\pi R} \, \left[ -\cos \theta \right]_0^{\pi} \\
&= \frac{\mu_0i}{4\pi R} \, [-\cos \pi - (-\cos 0)] \\
&= \frac{\mu_0i}{4\pi R} \, (1 - (-1)) \\
&= \frac{\mu_0i}{2\pi R}
\end{align*}
Labels:

Popular posts from this blog

Venturimeter Dengan Manometer

Berdasarkan persamaan kontinuitas: \begin{align*} A_1v_1 &= A_2v_2 \\ v_2 &= \frac{A_1}{A_2} \, v_1 \end{align*} Menggunakan persamaan Bernoulli: $$P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 + \rho_u gh_1  = P_2 + \frac{1}{2}\rho_u v_2^2 + \rho_u gh_2$$ Ketinggian titik 1 dan 2 sama $h_1 = h_2) $ $$ P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho_u v_2^2 $$ Substitusi $ v_2 $ \begin{align*} P_1 + \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 &= P_2 + \frac{1}{2}\rho_u \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 v_1^2 \\ P_1 - P_2 &= \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \end{align*} Perbedaan tekanan antara titik 1 dan 2 $ (P_1 - P_2) $ adalah sebesar perbedaan tekanan hidrostatik udara dengan tekanan hidrostatik fluida $ (\rho_f g \Delta h - \rho_u g \Delta h) $ \begin{align*} \rho_f g \Delta h - \rho_u g \Delta h &= \frac{1}{2}\rho_u v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \\ (\rho_f  - \rho_u) g \Delta h...
Read more

Venturimeter Tanpa Manometer

Berdasarkan persamaan kontinuitas: \begin{align*} A_1v_1 &= A_2v_2 \\ v_2 &= \frac{A_1}{A_2} \, v_1 \end{align*} Menggunakan persamaan Bernoulli: $$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1  = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2 $$ Ketinggian titik 1 dan 2 sama $(h_1 = h_2) $ $$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 $$ Substitusi $v_2 $ \begin{align*} P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 &= P_2 + \frac{1}{2}\rho \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 v_1^2 \\ P_1 - P_2 &= \frac{1}{2}\rho v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \end{align*} Perbedaan tekanan antara titik 1 dan 2 $ (P_1 - P_2) $ adalah sebesar perbedaan tekanan hidrostatik fluida $ (\rho g \Delta h) $ \begin{align*} \rho g \Delta h &= \frac{1}{2}\rho v_1^2 \left[ \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 - 1 \right] \\ v_1 &= \sqrt{\frac{2g\Delta h}{\left( \frac{A_1}{A_2} \right)^2 -1}} \end{align*}
Read more

Rangkaian RL

Rangkaian RL adalah rangkaian yang terdiri atas resistor dan induktor Rangkaian RL Rangkaian tersebut mengubah arus menjadi medan magnet yang disimpan dalam induktor. Untuk menghitung arus pada suatu waktu dalam rangkaian tersebut, kita gunakan hukum Maxwell. Tanda kutub pada masing-masing komponen dan arah pengintegrasian \begin{align*} \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} &= -\frac{d\Phi_B}{dt}\\ iR - V_0 &= -L\,\frac{di}{dt} \\ L \, \frac{di}{dt} + Ri &= V_0 \end{align*} Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah persamaan arus $$i(t) = \frac{V_0}{R} (1-e^{-\frac{Rt}{L}})$$ dari persamaan di atas dapat dilihat bahwa setelah waktu yang cukup lama $(t \rightarrow \infty)$ arus pada rangkaian $i=V_0/R$. Induktor yang terbuat dari konduktor ideal tidak memiliki medan listrik, sehingga tidak memiliki tegangan.
Read more